通信原理樊昌信第六版第2章_图文


通信原理
第2章 确知信号

第2章 确知信号
?

2.1 确知信号的类型
?

按照周期性区分:
? ? ? t ? ?? 周期信号: s ( t ) ? s ( t ? T 0 ), T0-信号的周期, T0 > 0 ? 非周期信号
?

?

按照能量区分:
能量信号:能量有限, ? 功率信号:
?
? ?

0? E ?
2

?

?

??

s ( t ) dt ? ?
2

归一化功率: P

?V

2

/R ? I R ?V
? lim 1 T
T??

2

? I

2

平均功率P为有限正值: P

?

T /2

?T / 2

s ( t ) dt

2

?

能量信号的功率趋于0,功率信号的能量趋于?

第2章 确知信号
?

2.2 确知信号的频域性质
?

2.2.1 功率信号的频谱
?

周期性功率信号频谱(函数)的定义
C n ? C ( nf 0 ) ? 1 T0

?

T0 / 2

? T0 / 2

s (t )e

? j 2 ? nf 0 t

dt

( 2 . 2 ? 1)

式中,f0 = 1/T0,n为整数,-? < n < +?。
s (t ) ?
C0 ? 1 T0
n ? ??

?
?

?

C ne

j 2 ? nt / T 0

( 2 .2 ? 2 )
( 2 .2 ? 3)

T0 / 2

? T0 / 2
j? n

s ( t ) dt

Cn ? Cn e

-双边谱,复振幅

(2.2 - 4)

|Cn| -振幅, ?n-相位

第2章 确知信号
?

周期性功率信号频谱的性质
?

对于物理可实现的实信号,由式(2.2-1)有
s (t )e
? j 2 ? nf 0 t

C ?n ?

1 T0

?

T0 / 2

? T0 / 2

? 1 dt ? ? ? T0

?

T0 / 2

? T0 / 2

s (t ) e

? j 2 ? nf 0 t

? * dt ? ? C n ?
|Cn|

?

( 2 .2 ? 5 )

正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系,即

Cn的模偶对称

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

n

(a) 振幅谱

?n

Cn的相位奇对称

-5

-4 -3

-2

-1 0 1 2

3 4 5

n

(b) 相位谱

第2章 确知信号
将式(2.2-5)代入式(2.2-2),得到
s (t ) ?
n ? ??

?C

?

n

e
?

j 2 ? nt / T 0

? C0 ?
2

? ?a
n ?1

?

n

cos ? 2 ? nt / T 0 ? ? b n sin ? 2 ? nt / T 0 ??

? C0 ?

??
n ?1

a n ? b n cos ? 2 ? nt / T 0 ? ?
2

?

?
2 2

( 2 .2 ? 8 )

式中 ? ? tan ? 1 ?b n / a n ? 式(2.2-8)表明:

Cn ?

1 2

a n ? bn

1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于?
a n ? bn
2 2

称为单边谱。

4. 频谱函数Cn又称为双边谱, |Cn|的值是单边谱的振幅之半。

第2章 确知信号
?

若s(t)是实偶信号,则 Cn为实函数。 因为
? j 2 ? nf 0 t

Cn ?

1 T0 ?

?
1

T0 / 2

? T0 / 2 T0 / 2

s (t ) e

dt ?

1 T

?

T0 / 2

? T0 / 2

s ( t )[cos( 2 ? nf 0 t ) ? j sin( 2 ? nf 0 t )] dt 1 T

T

?

? T0 / 2

s ( t ) cos( 2 ? nf 0 t ) dt ? j

?

T0 / 2

? T0 / 2

s ( t ) sin( 2 ? nf 0 t ) dt ? Re( C n ) ? j Im( C n )



?

T0 / 2

? T0 / 2

s ( t ) sin( 2 ? nf 0 t ) dt ? 0

所以Cn为实函数。

第2章 确知信号
?

【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
?? /2 ? t ? ? /2
s(t)

?V , s (t ) ? ? ?0, s ( t ) ? s ( t ? T ),

? / 2 ? t ? (T ? ? / 2 )
?? ? t ? ?
V

由式(2.2-1):
Cn ? 1 T

?
-T
? j 2 ? nf 0 t ? e ? ? ??

0

T

t

??
?

? /2

1 ? V ? j 2 ? nf 0 t Ve dt ? ? ? /2 T ? j 2 ? nf ?e
? j 2 ? nf 0? / 2

? /2

0

/2

?

V e T

j 2 ? nf 0? / 2

j 2 ? nf

?
0

V

? nf 0 T

sin ? nf 0? ?

V?

? n ?? ? sin c ? ? T ? T ?
C
n

s (t ) ?

n ? ??

?

?

C ne

j 2 ? nf 0 t

?

n ? ??

?

?

V?

? n ?? ? sin c ? ?e T ? T ?

j 2 ? nf 0 t

第2章 确知信号
?

【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。
0? t ??
s(t)

?V , s (t ) ? ? ?0, s ( t ) ? s ( t ? T ),

? ?t?T
?? ?t ? ?
-T

V 0 ?
? j 2 ? nf 0 t

由式(2.2-1) :
Cn ? 1 T

T

t

?

?

Ve

? j 2 ? nf 0 t

0 ? j 2 ? nf 0?

1 ? V dt ? ?? T ? j 2 ? nf V j 2? n

e
0

? ? ?0

?

?

V 1? e T

j 2 ? nf

?
0

?1 ? e

? j 2?n? / T

?

因为此信号不是偶函数,其频谱Cn是复函数。

第2章 确知信号
?

【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
0 ? t ?1 ? ? ? t ? ??
1

s ( t ) ? sin( ? t ) s ( t ) ? f ( t ? 1)
1 T

s(t)

由式(2.2-1):
Cn ?

t

?

T /2

?T / 2

s (t )e
?

? j 2 ? nf 0 t

dt ?

?

1

sin( ? t ) e

? j 2 ? nt

dt ?

? 2

0

? (4n

2

? 1)

s (t ) ?

? 2

?

n ? ??

?

1 4n
2

?1

e

j 2 ? nt

由于此波形为偶函数,故其频谱为实函数。

第2章 确知信号
?

2.2.2 能量信号的频谱密度
?

频谱密度的定义: ? ? j 2 ? ft S ( f ) ? ? s (t )e dt 能量信号s(t) 的傅里叶变换: ??
? ??

s S(f)的逆傅里叶变换为原信号: ( t ) ? ? ? S(f)和Cn的主要区别:
?
?

S ( f )e

j 2 ? ft

df

?

S(f)是连续谱,Cn是离散谱; S(f)的单位是V/Hz,而Cn的单位是V。

注意:在针对能量信号讨论问题时,也常把频谱密 度简称为频谱。 ? 实能量信号:负频谱和正频谱的模偶对称,相位奇 对称,即复数共轭,因 ? ? ? ? ? j 2 ? ft ? j 2 ? ft s (t )e dt ? ? ? s ( t ) e dt ? , S ( f ) ? ?S ( ? f ) ? ?? ? ? ?? ?
?

?

?

第2章 确知信号
?

【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 t ?? /2 ? 设 g ( t ) ? ?1 - 单位门函数 ?
a

?0 ?

t ?? /2

它的傅里叶变换为
Ga ( f ) ?

??

? /2

? /2

e

? j 2 ? ft

dt ?
ga(t)

1 j 2? f

(e

j? f?

?e

? j? f?

) ??

sin( ? f ? )

? f?

? ? sin c ( ? f ? )

1

Ga(f)

0

t

-1/? -2/?

1/? 0

2/?

f

(a) ga(t)

(b) Ga(f)

图2-5 单位门函数

矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数,在这 里它等于(1/?) Hz。

第2章 确知信号
?

【例2.5】试求单位冲激函数(?函数)的频谱密度。 ? ? ?函数的定义: ? ( t ) dt ? 1

?

??

? (t ) ? 0
?

t ? 0

?函数的频谱密度:
?( f ) ?

?

?

??

? (t ) e

? j 2 ? ft

dt ? 1 ? ?

?

??

? ( t ) dt ? 1

?

?函数的物理意义: 一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1 的脉冲。

第2章 确知信号
?

?函数的性质1: ?函数可以用抽样函数的极限表示:
? ( t ) ? lim
k
k??

因为,可以证明

?

sin c ( kt )

?

?

k

??

?

sin c ( kt ) dt ? 1

t

t

式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越 小、波形振荡的衰减越快,但积分等于1。 (见左图) 和下式比较: (2.2-26) ? ? ( t ) dt ? 1
? ??

可见

? ( t ) ? lim

k

k??

?

sin c ( kt )

(2.2-28) 即抽样函数的极限就是?函数。
t

第2章 确知信号
?

?函数的性质2:单位冲激函数?(t)的频谱密度
?( f ) ?
?(t)
1

?

?

??

? (t ) e

? j 2 ? ft

dt ? 1 ? ?

?

??

? ( t ) dt ? 1
?(f)

0

t

0

f

第2章 确知信号
?

?函数的性质3:
f (t 0 ) ?

?

?

??

f ( t )? ( t ? t 0 ) dt

(2.2-30)

【证】因为

?

?

??

f ( t )? ( t ? t 0 ) dt ? f ( t 0 ) ? ? ( t ? t 0 ) dt ? f ( t 0 )
??

?

物理意义:可以看作是用?函数在 t = t0时刻对f(t)抽样。 由于单位冲激函数是偶函数,即有?(t) = ?(-t),所 以式(2.2-30)可以改写成: ? f ( t 0 ) ? ? f ( t )? ( t 0 ? t ) dt (2.2-31) ??

第2章 确知信号
?

?函数的性质4: ?函数也可以看作是单位阶跃函数 的
导数。 单位阶跃函数的定义:
?0, u (t ) ? ? ? 1, 当 t ? 0, 当t ? 0
0 1



u?(t) = ?(t)

t

图2-8 单位阶跃函数

?

用?函数可以表示功率信号的频谱密度,见下例。

第2章 确知信号
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2?f0t,则其频谱密度S(f)按 式(2.2-21)计算,可以写为
?

S ( f ) ? lim ? lim

? ??

??
?
2

? /2

? /2

cos 2 ? f 0 te

? j 2 ? ft

dt ? lim

? ? sin[ ? ( f ? f 0 )? ]
? 2?

? ??

? ( f ? f 0 )?

?

sin[ ? ( f ? f 0 )? ] ? ? ? ( f ? f 0 )? ?

???

?sin c ???

( f ? f 0 ) ? ? sin c ??? ( f ? f 0 ) ??

参照式(2.2-28),上式可以改写为
S( f ) ? 1 2 [ ? ( f ? f 0 ) ? ? ( f ? f 0 )]

t

-f0

0 (b) 频谱密度

f0

(a) 波形

引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。

第2章 确知信号
?

2.2.3 能量信号的能量谱密度
?

定义:由巴塞伐尔(Parseval)定理
E ?

?

?

??

s ( t ) dt ?
2

?

?

??

S ( f ) df

2

(2.2-37)

将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E ?

?

?

??

G ( f ) df

(2.2-38)

式中 G(f) = |S(f)|2 -能量谱密度
?

由于信号s(t)是一个实函数,所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成
E ? 2 ? G ( f ) df
0 ?

(2.2-40)

第2章 确知信号
?

【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中,已经求出其频谱密度:
S ( f ) ? G a ( f ) ? ? sin c (? f ? )

故由式(2.2-39)得出
G( f ) ? S( f )
2

? ? sin c (? f ? )

2

??

2

sin c (? f ? )

2

第2章 确知信号
?

2.2.4 功率信号的功率谱密度
?

定义:首先将信号s(t)截短为sT(t),-T/2 < t < T/2 sT(t)是一个能量信号,可以用傅里叶变换求出其能 量谱密度 |ST(t)|2,由巴塞伐尔定理有 T /2 ? 2 2 (2.2-41) E ? ? s T ( t ) dt ? ? S T ( f ) df
?T / 2 ??
T??


lim

1 T

ST ( f )

2

定义为信号的功率谱密度P(f) ,即
P ( f ) ? lim 1 T
T??

ST ( f )

2

第2章 确知信号
周期信号的功率谱密度: 令T 等于信号的周期T0 ,于是有
?

s ( t ) dt ? s ( t ) dt ? T ? T 由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理: P ? lim
2 2 T?? ?T / 2 0 ? T0 / 2

1

T /2

1

T0 / 2

(2.2-45)

P ?

1 T0

?

T0 / 2

? T0 / 2

s ( t ) dt ?
2

n ? ??

?

?

Cn

2

(2.2-46)

式中 |Cn|2 -第n次谐波的功率 利用?函数可将上式表示为
P ?

式中

?

?

??

C ( f ) ? ( f ? nf 0 )df
f ? nf 其他处
0

2

(2.2-47)

?C n C( f ) ? ? ?0
?

上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f),即
P( f ) ?
n ? ??

?

C ( f ) ? ( f ? nf 0 )

2

(2.2-48)

第2章 确知信号
?

【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。 该例中信号的频谱已经求出,它等于式(2.2-14):
Cn ? V? ? n ?? ? sin c ? ? T ? T ?
?

P 所以由式(2.2-48): ( f ) ? ? 得出
? 2 ?

C ( f ) ? ( f ? nf 0 )

2

n ? ??

? V? ? 2 P ( f ) ? ? C ( f ) ? ( f ? nf 0 ) ? ? ? ? sin c ??? f ?? ( f ? nf 0 ) n ? ?? n ? ?? ? T ?

2

(2.2-50)
s(t)

V

?
-T

0

T

t

第2章 确知信号
?

2.3 确知信号的时域性质
?

2.3.1 能量信号的自相关函数
?

定义:
R (? ) ?

?

?

?

性质:
?

??

s ( t ) s ( t ? ? ) dt

?? ?? ? ?

(2.3-1)

?

?

自相关函数R(?)和时间t 无关,只和时间差? 有关。 当? = 0时,R(0)等于信号的能量: (2.3-2) R ( 0 ) ? ? s ( t ) dt ? E R(?)是? 的偶函数
? 2 ??

R (? ) ? R ( ?? )
?

(2.3-3)
?

自相关函数R(?)和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换:
S( f )
2

?

?

?

??

R (? ) e

? j 2 ? f?

d?

R (? ) ?

?

??

S( f ) e

2

j 2 ? f?

df

第2章 确知信号
?

2.3.2 功率信号的自相关函数
?

定义:
R (? ) ? lim 1 T
T ??

?

T /2

?T / 2

s ( t ) s ( t ? ? ) dt

?? ?? ? ?

(2.3-10)

?

性质: ? 当? = 0时,自相关函数R(0)等于信号的平均功率:
R ( 0 ) ? lim
?

1 T

T??

?

T /2

?T / 2

s ( t ) dt ? P
2

(2.3-11)

功率信号的自相关函数也是偶函数。

?

周期性功率信号:
?

自相关函数定义:
R (? ) ? 1 T0

?

T0 / 2

? T0 / 2

s ( t ) s ( t ? ? ) dt

?? ?? ? ?

(2.3-12)

?

R(?)和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系:
R (? ) ?

?

?

??

P ( f )e

j 2 ? f?

df

P( f ) ?

?

?

??

R (? ) e

? j 2 ? f?

d?

第2章 确知信号
?
?

【例2.9】试求周期性信号s(t) = Acos(t+?)的自相关函数。 【解】先求功率谱密度,然后对功率谱密度作傅里叶变换, 即可求出其自相关函数。
求功率谱密度:结果为
P( f ) ?
?
n ? ??

?

?

C ( f ) ? ( f ? nf 0 ) ?

2

A

2

4

? ( f ? f0 ) ?

A

2

4

? ( f ? f0 )

求自相关函数:
R (? ) ?

?

?

??

P ( f )e

j 2 ? f?

df ?

A

2

[e

j?

?e

? j?

]?

A

2

cos ?

4

2

第2章 确知信号
?

2.3.3 能量信号的互相关函数
定义: R12 (? ) ? ?? ? s1 ( t ) s 2 ( t ? ? ) dt , ? 性质:
?
?
?
?

?? ?? ? ?

R12(?)和时间 t 无关,只和时间差? 有关。 R R12(?)和两个信号相乘的前后次序有关: 21 (? ) ? R 12 ( ?? ) 【证】令x = t + ?,则
R 21 (? ) ? ?

?
? ??

?

??

s 2 ( t ) s 1 ( t ? ? ) dt ?

?

?

??

s 2 ( x ? ? ) s 1 ( x ) dx

?

互相关函数R12(?)和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换
S 互能量谱密度的定义为:12 ( f ) ?
R 12 (? ) ?

?

s 1 ( x ) s 2 [ x ? ( ? ? )] dx ? R 12 ( ? ? )

(2.3-23)

S1 ( f )S 2 ( f )
R 12 (? ) e
? j 2 ? f?

*

?

?

??

S 12 ( f ) e

j 2 ? f?

df

S 12 ( f ) ?

?

?

??

d?

第2章 确知信号
?

2.3.4 功率信号的互相关函数
定义: R 12 (? ) ? lim 1 ? s1 ( t ) s 2 ( t ? ? ) dt , ?T / 2 T ?? T ? 性质:
T /2

?

?? ?? ? ?

?
? ?

R12(?)和时间t 无关,只和时间差? 有关。 R12(?)和两个信号相乘的前后次序有关: R21(?) = R12(-?) 若两个周期性功率信号的周期相同,则其互相关函数的 定义可以写为

?

式中 T0 -信号的周期 R12(?)和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系: * 互功率谱定义: C 12 ? ( C n ) 1 ( C n ) 2
n ? ??

R 12 (? ) ?

? ?C 12 ?e

?

j 2 ? nf 0?

R 12 (? ) ?

?

?

??

C 12 ( f ) ? ( f ? nf 0 ) e

j 2 ? nf 0

df

第2章 确知信号
?
? ?

小结
能量信号、功率信号 确知信号再频域中的四种性质:频谱、频谱密度、能量 谱密度、功率谱密度 确知信号在时域中的 特性:自相关函数、互相关函数

?


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