函数奇偶性第一课时(2013.9.22)(优秀课件)_图文


时间:2013年9月23日

复习回顾
? 初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称 图形,那么什么是轴对称图形和中心对称图 形呢?
轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直 线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴 对称图形,这条直线叫做对称轴; 在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果 旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中 心对称图形,这个点叫做它的对称中心。

观察下图,思考并讨论以下问题:
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的 ?怎样用函数的解析式来描述这种特征呢?

f(x)=x2
f(-3) = f(3) f(-2) = f(2) f(-1) = f(1)

f(x)=|x|
f(-3) = f(3) f(-2) = f(2) f(-1) = f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.

1.偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2 例如,函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? x 2 ? 11都是偶函数,
2

它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 偶函数的

图象关于y 轴对称

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题
(1)这两个函数图象有什么共同特征? (2)填函数值对应表

x f(x)=x

-3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1

2 3 2 3

x f(x)= 1 x

-3 -2 -1 0 1

2 3

? 1 ? 1 -1 / 1 3 2

1 1 2 3

从函数值对应表可以看到,当自变量x取一对相反数时, 相应的两个函数值也是一对相反数。

(3)能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗? 例如:对于函数 f(x)=x 有: f(-3)=-3=-f(3);

f(-2)=-2=-f(2);
f(-1)=-1=-f(1).

实际上,对于函数f(x)=x定义域 R内任意的一个 x ,都 有f(-x)=-x=-f(x).这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

同样我们也能说明函数f(x)= 1也是奇函数. x

2.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

奇函数的 图象关于 原点对称

注意: 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇 偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质.对 于定义域里任意一个x都成立;
2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有 奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内 的任意一个x,则-x也一定是定义域内的 一个自变量(即定义域关于原点对称). 例如y=x2,x∈[-1,2]为非奇非偶函数

3、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即

若f(x)为奇函数,则有f(-x)= - f(x) 成立 . 若f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 成立.
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数 ,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 5. 若奇函数在x=0时有定义,则必有 f(0)=0

? 6.存在既是奇函数又是偶函数的函数。 ? 7.函数按照奇偶性可以分为:奇函数、 偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇 非偶函数四类。

练习1. 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 偶函数 ________ ④ f(x)= x -1 奇函数 __________
⑤f(x)=x -2 偶函数 __________ 奇函数

奇函数 ② f(x)=x _______

奇函数 ③ f(x)=x5 __________ ⑥f(x)=x -3

_______________

结论:一般的,对于形如 f(x)=x n 的函数,
若n为偶数,则它为偶函数。

若n为奇数,则它为奇函数。

例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x)

(2)

f(x)=2x4+3x2

解 定义域为R : ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
= f(x)

∴f(x)为奇函数 ☆ 小结:用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称;

∴f(x)为偶函数

⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。

练习2. 判断下列函数的奇偶性
1 (1) f(x)=x- x 解:定义域为﹛x|x≠0﹜ ∵f(-x)=(-x) = -x+ 1 1

(2) f(x)= - x2 +1
解:定义域为R

-x

∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1

x = - f(x)

= f(x)
∴f(x)为偶函数

∴f(x)为奇函数

3.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
? 1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域 是否关于原点对称;(如果定义域不关于原 点对称,则函数非奇非偶,下面的步骤就不 用) ? 2)确定f(-x)与f(x)的关系; ? 3)作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x) 是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数.

3.奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.
注:奇偶函数图象的性质可用于: ①.判断函数的奇偶性。
②.简化函数图象的画法。

例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y

x

x

f ( x) ? ? x ? 2
2
y

f ( x) ? -x 2 ? 2 x
y

x

x

f ( x) ? 2 x ? 1

f ( x) ? 2 x , x ? 1

例2、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象. 解:画法略

y

0

x

若y=f(x)是奇函数呢?
y
相等

0

x

例3 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图象如图 ,画出y=f(x)在 y轴左边的图象。
y
解:画法略

o

x

(4)课堂小练
例1、判断下列函数是否为奇函数或偶函数 : (1) f ( x) ? x 2 ? 1;
(2) f ( x) ? x ( ?1 ? x ? 1);
2

(3) f ( x) ? ? x ? 1? .
2

意味着定义域关于数 “0”对称

解:(1) f ( x) 的定义域是 R ,

因为对任意的 x ? R, 都有
f (? x) ? ? ? x ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? f ( x),
2

验证

下结论

所以函数

f ( x) ? x 2 ? 1

是偶函数。

练习: (2)函数 f ( x) ? ? x 的大致图象可能是(
3



(3)判断函数y ? x ? x 的奇偶性;如图 3 是函数 y ? x ? x 图象的一部分,请根据 函数奇偶性画出它在y轴左侧的部分。
3

本课小结:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为奇函数。 f(x)为偶函数。

2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数 它的图象关于原点对称 它的图象关于y 轴对称

小结:根据奇偶性,
函数可划分为四类:

奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数

作业: P44 习题3,4, 6,8,9,10(A组) B组第4题

同学们再见!


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