镇江市2012~2013学年第一学期期末高一数学试卷


镇江市 2012~2013 学年第一学期期末高一数学试卷
2013 年 1 月

第 I 卷 (填空题)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上. ......... 1. 设全集 U ? ?1,2,3,4?, A ? ?1,3?, B ? ?1,4?, ? U ( A ? B) ? 2. 已知幂函数 y ? x? 的图像过点 2, 2 ,则 f ? 4 ? = ▲ 3. 求值: lg 3 2 ? lg 3 5 ? ▲ . ▲ . .

?

?

?2e x ?1 , x ? 2, ? 4. 设 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (2)) ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ≥2 ?





5. 已知扇形的周长是 8cm,圆心角是 2 rad,则该扇形的面积是 ▲ . 6. 函数 f ? x ? ? 9 x ? 3x ?1 ? 4 的定义域为 ▲ .

? ?? ? 7. 把函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的 4? 4 ?
解析式 g ? x ? = ▲ . 8. 计算: cos4 75? ? sin4 75? = ▲ . .

9. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在 ? 0, ? ? 上的减区间为 ▲ 10. 已知 sin ? ? cos ? ? ? 11. 比较大小: cos2013?

1 ?0 ? ? ? ? ? ,则 tan ? = ▲ . 5
▲ (用“<”或“>”连接) . s i n 2 0?1 3

12. 请在括号内填写一个整数,使得等式 13. 方程 log 2 ( x ? 8) ?

(▲) 3 ? ? 4 成立,这个整数是 ▲ . sin50? cos50?

x 的所有根的和为 ▲ . 2 2 14. 已知函数 f ? x ? ? a sin x ? x ? 8 ,若 f ? ?2013? ? 2 ,则 f ? 2013? = ▲ . 2 ?1

第 II 卷(解答题)
二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.请在答题卡指定区域内作答, 共 解答时应写出必要的文字说明、 .... 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知在直角坐标系 xOy 中,角的始边为 x 轴正半轴,已知 ? , ? 均为锐角,且角 ? 和 ? ? ? 的终 边与单位圆交点横坐标分别为 (1)求 tan ? 的值; (2)求角 ? 终边与单位圆交点的纵坐标.

4 5 和 . 5 13

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? log2

x ? log2 2 x . 4

(1)解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2)当 x ? ?1,4 ? 时,求 f ( x ) 的值域.

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? cos x ( x ? ?? ,2? ?) . (1)判断函数 f ( x ) 的单调性,并求函数 f ( x ) 的值域; (2)证明方程 f ( x) ? x ? ? 在 ?? ,2? ? 上必有一根.

18. (本小题满分 16 分) 如 图 , A, B, C, H 四 个 小 朋 友 在 草 坪上 游 戏 , 根 据 游 戏 规 则 , A, B, C 三 人 围 成 一 个 三 角形,

B, H , C 三人共线, H 在 B, C 两人之间. B, C 两人相距 20 m, A, H 两人相距 h m, AH 与 BC 垂
直. (1)当 h ? 10 时,求 A 看 B, C 两人视角的最大值; (2)当 A 在某位置时,此时 B 看 A, C 视角是 C 看 A, B 视角的 2 倍,求 h 的取值范围.
A

B

H

C

19. (本小题满分 16 分) 已知 ? ? (0, ) , x ?R,函数 f ( x ) ? sin 2 ( x ? ? ) ? sin 2 ( x ? ? ) ? sin 2 x . 2 (1)求函数 f ( x ) 的奇偶性; (2) 是否存在常数 ? ,使得对任意实数 x , f ( x ) ? f ( 如果不存在,请说明理由.

?

?
2

? x) 恒成立;如果存在,求出所有这样的 ? ;

20.(本小题满分 16 分) 已知 a, x ? R,函数 f ( x ) ? sin 2 x ? (2 2 ? 2a )sin( x ?

?
4

)?

2 2

cos( x ? ) 4

?

.

(1)设 t ? sin x ? cos x ,把函数 f ( x ) 表示为关于 t 的函数 g (t ) , 求 g (t ) 表达式和定义域;

? ?? (2)对任意 x ? ?0, ? ,函数 f ( x) ? ?3 ? 2a 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2?

高一数学期末检测答案及评分标准
一、填空题(每题 5 分)
1.

?2?

2. 2 7. cos? 2 x ? 12. 1

3.

1 3
3 2

4. 2 9. ? , ? ? ?6 ? 14. 12

5.4cm

2

6. ?log 3 4,?? ? 11. ? 二、解答题

? ?

??
? 4?

8. ? 13. 4

??

?

10. ?

3 4

4 15. 解: (1)由题意可得 cos ? ? ,??2 分 5
? ?? ? ? ? ? 0, ? , ? 2?

cos ?? ? ? ? ?

5 ,?? 4 分 13

3 ?sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ,??6 分 5

? tan ? ?

sin ? 3 ? .?? 7 分 cos ? 4

(2)? 0 ? ? ? ? ? ? , ?sin(? ? ? ) ?

12 ,?? 9 分 13

sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ??? 11 分 ? ?
= sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ?? 13 分

12 4 5 3 33 ? ? ? ? .?? 14 分 13 5 13 5 65 【说明】本题来源于必修四第 112 页第 4 题改编.考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关 系、和差角公式;考查角的变换能力.
= 16.解: (1) f ?x ? ? (log 2 x ? 2) ? ?log 2 x ? 1????? 2 分 令 log2 x ? t , ? f ? x ? ? g ? t ? ? ? t ? 2 ? ? ? t ? 1? . 由 f ( x ) ? 0 ,可得 ?t ? 2??t ? 1? ? 0 ?t ? 2 或 t ? ?1 , ……4 分

?log2 x ? 2, ? x ? 4 ,……5 分

或 log2 x ? ?1, ? 0 ? x ?

1 .……6 分 2

? 1? ?不等式的解集是 ? 0, ? ? ?4,?? ? .……7 分 ? 2?
9 ? 1? (2)? x ? ?1,4 ? , ?t ? ?0,2? , ……8 分 ? f ? x ? ? g ?t ? ? ? t ? ? ? ,……9 分 4 ? 2?
9 ?1? f min ( x ) ? g ? ? ? ? ,……11 分 4 ?2?
f max ( x ) ? g ? 2 ? ? 0 ,……13 分
2

? 9 ? ? f ( x ) 的值域是 ?? ,0? .……14 分 ? 4 ?
【说明】本题考查对数的运算、对数函数的性质、简单的对数不等式;考查一元二次不等式解法、二 次函数性质;考查换元法和整体思想. 17. 解: (1) ?? ,2? ? 内 f1 ?x ? ? ln x 是增函数, f 2 ?x ? ? cos x 也是增函数, ……2 分

? f ( x) ? ln x ? cos x 在 ?? ,2? ? 内是增函数.……3 分
? f min ( x) ? f ?? ? ? ln ? ? 1 ? ln

?
e

,……4 分

f max ( x ) ? f ? 2? ? ? ln 2? ? 1 ? ln 2? e ,……5 分

? ? ? ?函数 f ( x ) 的值域是 ?ln , ln 2?e? .……6 分 ? e ?
(2)设 g ?x ? ? f ?x ? ? x ? ? ? ln x ? cos x ? x ? ? ,……8 分 由 g ?? ? ? ln ? ? 1 ? ln e ? 1 ? 0 ,……10 分

g ?2? ? ? ln 2? ? 1 ? ? ? ln e 2 ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 0 ,……12 分

? g ?? ? ? g ?2? ? ? 0 ,……13 分 ?方程 f ( x) ? x ? ? 在 ?? ,2? ? 必有一根.……14 分
【说明】考查函数单调性的判断和应用;考查零点判定;考查数据估算能力.

18. 解: (1)设 CH ? x, ? BH ? 20 ? x , x ? ? 0,20 ? [注:如果讨论 x ? 0,20 不扣分]

20 ? x x , tan ?CAH ? ,……2 分 10 10 20 ? x x ? ? 0 ,即 x ? 10 时, 此时 ?BAH ? ?CAH ? 45? . 1? 当 1 ? 10 10 tan ?BAH ?
??BAC ? 90? .……4 分
2? 当 1 ?

20 ? x x ? ? 0 ,即 x ? 10 时,……5 分 10 10

20 ? x x ? 10 10 = 200 ? 0 tan ?BAC ? tan ? ?BAH ? ?CAH ? ? 20 ? x x ?x ? 10 ?2 1? ? 10 10

? 0? ? ?BAC ? 180? , ??BAC ? 90? .……6 分
综上: AH ? BH ? 10 时,最大视角是 90? .……8 分

(2)? tan ?ABH ?

h h ; tan ?ACH ? ,……10 分 20 ? x x

?ABH ? 2?ACH , ? tan ?ABH ? tan2?ACH ,

h ? ? 20 ? x

h x ? h 2 ? 3x 2 ? 80 x ? 400 ? ? 3x ? 20 ?? x ? 20 ? ,……13 分 2 h? ? 1? ? ? ?x? 2?

? x ? ?0,20 ? 时, h 2 ? (0,400) ,……15 分

? h ? (0,20) .……16 分

【说明】本题根据必修四课本 P (4) 改编.考查两角和与差公式;考查分类讨论思想;考查阅读理解 117 能力、建模能力、数学化能力、运算能力和应用数学解决问题的能力.

19. (法一)解: (1)定义域是 x?R ,……1 分

f ( ? x ) ? sin 2 ? ? x ? ? ? ? sin 2 ? ? x ? ? ? ? sin 2 ( ? x) ……2 分 ? sin 2 ? x ? ? ? ? sin 2 ? x ? ? ? ? sin 2 x ? f ( x) ,……4 分
∴函数 f ( x ) 是偶函数.……5 分 (2)? f ( x ) ? f (

?
2

? x) ,

?sin 2 ? x ? ? ? ? sin 2 ? x ? ? ? ? sin 2 x ? cos2 ? x ? ? ? ? cos2 ? x ? ? ? ? cos2 x ,……7 分
移项得: cos?2 x ? 2? ? ? cos?2 x ? 2? ? ? cos 2 x ? 0 ,……9 分 展开得: cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ? 0 ,……12 分 对于任意实数 x 上式恒成立,只有 cos 2? ?

6 1 ? cos?2 x ? 2? ? 1 ? cos?2 x ? 2? ? 1 ? cos 2 x (法二) f ?x ? ? ……3 分 ? ? 2 2 2 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? .……5 分 ? 2
(1) 定义域是 x?R,……6 分 ∵ f ??x? ?

? 0 ? 2? ? ? ,……15 分

∴? ?

?

1 .……14 分 2

.……16 分

1 ? cos( ?2 x ) ? 2cos2? ? 1? 1 ? cos2 x ? 2cos2? ? 1? ? ? f ? x ? ,……9 分 2 2 ∴该函数在定义域内是偶函数.……10 分

(2)由 f ( x ) ? f (

?
2

? x) 恒成立,

?? ? 1 ? cos 2? ? x ??2 cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ?2 ? ∴ , ? 2 2


1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ,……12 分 ? 2 2

化简可得: cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ? 0 对于任意实数 x 上式恒成立,……13 分 只有 cos 2? ?

1 ,……14 分 2
∴? ?

? 0 ? 2? ? ? ,……15 分

?
6

.……13 分

【说明】本题来源于必修四课本第 121 页例 3.考查三角变形公式和函数奇偶性的判定;考查恒成立问 题.本题也可用特殊与一般思想探求出 ? ? 20. 解: (1)∵ t ? sin x ? cos x ?

?
6

.

?? ? 2 sin? x ? ? ? ? 2 , 2 ,……2 分 4? ?

?

?

?sin x cos x ?

t2 ?1 .……3 分 2

∵ f ?x ? ? 2 sin x cos x ? ?2 ? a ??sin x ? cos x ? ? ∴ f ?x ? ? g ?t ? ? t ? ?2 ? a ?t ?
2

4 .……4 分 sin x ? cos x

4 ? 1 ,……6 分 定义域: ? ? 2,0 ? ? ? 0, 2 ? ,……7 分 ? ? t

(2)? x ? ?0,

?? ? ?? ? ? ,? t ? sin x ? cos x ? 2 sin? x ? 4 ? ? 1, 2 ,……9 分 ? 2? ? ?
2

?

?

∵函数 f ( x) ? ?3 ? 2a 恒成立,∴ t ? ?2 ? a ?t ? 得: t ? 2t ?
2

4 ? 1 ? ?3 ? 2a 恒成立 , t

4 ? 2 ? ?t ? 2?a ,……11 分 t
t 2 ? 2t 4 ? 2t 2 ?a ? ? ? t ? ? p?t ? ,……13 分 t?2 t ?t ? 2? t
∵ p ?t 2 ? ? p ?t1 ? ? ?t 2 ? t1 ?? ?

? t ? 2 ? 0 ,……12 分

设 1 ? t1 ? t 2 ?

2,

? t1 t 2 ? 2 ? ? ? 0 ,……14 分 ? ? t1 t 2 ?

∴函数 p ?t ? 在 ?1, 2 ? 上是递减函数,……15 分 ? ?

? a ? p a ( x ? ? 1 ? .……16 分 p? 3 m x )

【说明】本题考查考查同角正弦函数和余弦函数的基本关系、函数单调性的证明和应用;考查恒成立 问题的处理方法;考查整体思想和换元法;考查运算变形能力.


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