选修2-1圆锥曲线的统一定义的课件


圆锥曲线的统一定义

复习回顾
1、 椭圆的定义:
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹

2 、双曲线的定义:

平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹 表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)

3、抛物线的定义:
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离)GspFile.gsp

在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子

a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2
( x ? c) 2 ? y 2 c 将其变形为 ? 2 a a ?x c
你能解释这个式子的几何意义吗?

例1

已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直

a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹. c a
y

P
· F

l

O

x

解 :根据题意可得

化简得
2

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

( x ? c) 2 ? y 2 c ? 2 a a | ?x| c

椭圆的

令a ? c ? b , 上式就可化为
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

标准方程

所以点P的轨迹是焦点为(?c, 0), (c, 0), 长轴、短轴分别为2a、b的椭圆。这个 2 椭圆的离心率e就是P到定点F的距离 和它到直线l F 不在l上)的距离的比。 (

若(a>c>0)变为(c>a>0)呢?
当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (c>a>0)时,这个 c a 2 2 x y 点的轨迹是双曲线,方程为 2 - 2 =1(其中b2 a b =c2 -a2 ),这个常数就是双曲线的离心率.

这样,圆锥曲线可以统一定义为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上) 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.

其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.

几条呢?
根据图形的对称性可知,椭圆 和双曲线都有两条准线.

对于中心在原点,焦点在x轴上的椭
a2 圆或双曲线, 与F1 (?c, 0)对应的准线方程为x ? ? c a2 与F2 (c, 0)对应的准线方程为x ? c

y x 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)和双曲线 a b y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的准线方程是什么? 2 a b
2 2

2

2

标准方程
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

图形

焦点坐标

准线方程
a2 x?? c a2 y?? c a2 x?? c

( ? c, 0) (0, ? c) ( ? c, 0)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0)
x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

(0, ? c)

a2 y?? c

图形

标准方程 焦点坐标 准线方程

l l

l l

p x?? ( p ? 0) 2 2 p p y ? ?2 px ( ? ,0) x ? ( p ? 0) 2 2 x 2 ? 2 py p p y?? ( 0, ) ( p ? 0) 2 2
p ( ,0 ) 2
x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

y 2 ? 2 px

p (0, ) ? 2

p y? 2

练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程
(1) x2 ? 2 y 2 ? 4
(2)2 x2 ? 4 y 2 ? 1
(3) x ? 2 y ? 1
2 2

(? 2,0)

x ? ?2 2
x ? ?1
6 x?? 3 6 y?? 3
1 y ? 4

1 (? , 0) 2
6 (? , 0) 2

(4)2 y 2 ? x2 ? 4

(0, ? 6)
1 (0, ? ) 4 1 ( , 0) 2

(5) x2 ? y ? 0
(6) y 2 ? 2 x ? 0

1 x?? 2

例2 的距离.

已知双曲线

x2 y2 ? ?1 64 36

上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线
法一:由已知可得a=8,b=6,c=10.

因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点,
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离

为d,则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16,
所以|PF2|=30,又由双曲线第二定义可得
| PF2 | ?e d

1 所以d= |PF2|=24 e

例2

已知双曲线

x2 y2 ? ?1 64 36

上一点P到左焦点

的距离为14,求P点到右准线的距离.

2a 2 分析 : 两准线间距离为 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 ? a ? 8, b ? 6, c ? 10,? ? e ? ? d a 4 4 56 2a 2 2 ? 64 64 ? d ? 14 ? ? 又? ? ? 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 ? P到右准线的距离为 ?d ? ? ? 24 c 5 5

练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
x ? ?4
1 2

2. 中心在原点,准线方程为 x ? ?4 ,离心率为 的椭圆方程是
x2 y2 ? ?1 4 3

1 2

3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x ? ?4 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 2 ? 12 x

选一选
1. 已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中 心到准线距离是(
8 5 A. 5

D)
8 3 C. 3
D. 4 3 3

4 5 B. 5

2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此 双曲线的离心率为(

B

)

A. 2

B. 3

C.2 3

D.

6 2

已知椭圆

x2 y2 ? ? 1上 25 16

一点P到右准线距离为10, 求P点 到左焦点的距离.

例3 若点A 的坐标为(3,2),F 为抛 2 物线 y ? 2 x 的焦点,点M 在抛物线上 移动时,求|MA|+|MF |的最小值,并求 y 这时M 的坐标.
l

d
N

M o F x

A

?

1 2

1.已知A(-1,1),B(1,0),点P在椭圆

x y ? ? 1 上运动,求|PA|+2|PB|的 4 3
最小值。
P C

2

2

A

·
O

·

· B

2. 已知P为双曲线 右支上 的一个动点,F为双曲线的右焦点,若 (3,1) ,则| PA | ? 3 | PF | 2 点A的坐标为 的 最小值是__
y

x2 ? y2 ? 1 3

D

P A

O F

x

拓展延伸

x2 y2 1.已知P为双曲线 ? ? 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点,若PF1 : PF2 ? 3 : 2,试求点 P( x0 , y0 )的坐标。 y2 2.已知双曲线x 2 ? ? 1左、右焦点分别为F1 , F2, 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d,且 d,PF1 , PF2成等比数列,试求点P( x0 , y0 )的坐标.

课堂小结 1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想

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