§3.4.1-2定积分的应用(弧长和面积)


§3.4 定积分的应用
3.4.1 微元法

y
y = f (x)

A
o a
b x

一般地,若所求量 Q与变量 x 的变化区间 [a, b] 有关;且
关于区间 [a, b] 具有可加性,在 [a, b] 中的任意一个小区间
[ x, x + dx ] 上找出所求量的部分量的近似值 dQ = f ( x)dx ,

然后以它作为被积表达式,而得到所求量的积分表达式
Q=

微元法,其中 dQ = f ( x)dx 微元法 ∫ a f ( x)dx ,这种方法称为微元法

b

称为 量 Q 的 微元 微元。

3.4.2 弧长
一 、 直角坐标情形

定理:若函数 f ( x)在[a, b] 上可导,且 f ′(x ) 连续, 定理 则在 [a, b] 上的曲线 y = f (x) 可求长,且弧长
S=

∫a

b

1 + [ f ′( x)]2 dx 。

例 1.求圆 x 2 + y 2 = R 2 的弧长。
解: y = R 2 ? x 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ,

y
x 2 + y 2 = R2

y′ =

? xdx R ?x
′2
2 2

,
R R2 ? x2

?R

o

R x

dS = 1 + y dx =

dx,
R 0

x S =4 dx = 4 R arcsin 0 R R2 ? x2



R

R

π = 4 R ? = 2πR. 2

二 、参数方程情形
? x = ?(t ), 若曲线是由参数方程 ? (α ≤ t ≤ β) 表示, ? y = f (t ),
则弧长的微元为

ds = (dx) 2 + (dy ) 2 = [?′(t )dt ]2 + [ f ′(t )dt ]2
即 ds = [?′(t )]2 + [ f ′(t )]2 dt.
S=

∫α

β

[?′(t )]2 + [ f ′(t )]2 dt

? x = a (t ? sin t ) 例 2.计算摆线 ? 的一拱 0 ≤ t ≤ 2π 的长度。 ? y = a (1 ? cos t )

解: x′(t ) = a (1 ? cos t ) ,

y

y′(t ) = a sin t ,
dS = [a (1 ? cos t )]2 + [a sin t ]2 dt
t = a (2 ? 2 cos t ) dt = 2a sin dt , 2
2

o

2πa x

t t 2π ∴S = 2a sin dt = 2a[?2 cos ] = 8a 。 0 2 2 0





三、极坐标方程情形
若曲线是由极坐标方程 r = r (θ) , (α ≤ θ ≤ β) 表示,

′(θ)]2 dθ 弧微分 dS = [r (θ)] + [r
2

弧长 S =

∫α

β

[r (θ)]2 + [r ′(θ)]2 dθ

例 4.求阿基米德螺线 r = aθ ( a > 0 )的

第一圈( 0 ≤ θ ≤ 2 π )的弧长。

y

解: S =
=

∫0



[r (θ)]2 + [r ′(θ)]2
2 2

o

x

∫0



(aθ) + a dθ = a

∫0



θ 2 + 1 dθ

θ 2 1 = a[ θ +1 + ln( θ2 +1 + θ)] 2π 0 2 2
a = [2π 4π 2 +1 ) + ln( 4π 2 +1 + 2π]. 2

3.4.3 面积和体积
一、面积
(一)直角坐标系中的平面图形的面积
1.设函数 f ( x) ∈ C[a,b] ,求由直线 x = a, y = b, y = 0 和 曲线 y = f (x) 所围成的平面图形的 面积 A 。
(1) 若在 [ a, b] 上 f ( x) ≥ 0 ,则 A =
(2) 若在 [a,b] 上 f ( x) ≤ 0 ,则 A = ?

∫a
∫a

b

f ( x)dx 。
f ( x)dx =

b

∫a

b

f ( x) dx 。

(3) 若在 [a,b] 上 f (x) 有正有负,则 A =

∫a

b

f ( x) dx 。

2.设 f (x) 、 g (x) 是 [a, b] 上的连续函数,且 f ( x) ≥ g ( x) , 求由直线 x = a , x = b ,和曲线 y = f (x) 、 y = g (x) 所围 成的平面图形的 面积 A 。

y

y = f (x)

dA
y = g (x)

dA = [ f ( x) ? g ( x )]dx

A=

o

a

x x + dx

b

x

∫ a [ f ( x) ? g ( x)]dx

b

3. ?( y ) 、 ψ( y ) 是 [c, d ] 上的连续函数,且 ?( y ) ≥ ψ ( y ) , 求由直线 y = c , y = d 和曲线 x = ?( y ) 、 x = ψ( y ) 所围 成的平面图形的 面积 A 。

y
d
y + dy
dA

x = ?(y)

dA = [?( y ) ? ψ ( y )]dy
A=

y

c

x = ψ( y )

∫ c [?( y) ? ψ( y)] dy

d

o

x

例 4.求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 2 x + y ? 2 = 0 所围图形的面积。

? y2 = 2x ? 解:解方程组 ? ?2 x + y ? 2 = 0 ? 1 得交点为( ,1),(2,-2)。 2

y
1
y + dy y ?2
1 ( , 1) 2

y 2 = 2x

o

x
dA

积分区间为[?2,1].

(2, ? 2)

1 1 2 面积微元为:dA = [(1 ? y ) ? y ]dy , 2 2

2x + y ? 2 = 0

1 1 2? 9 ? 面积 A = ?(1 ? 2 y ) ? 2 y ? dy = 4 。 ?2 ? ?



1

另解: 以 x 为 积分变量, 积分区间为[0,2],
9 2 x dx + 1 (2 ? 2 x + 2 x )dx = . A=2 0 4



1 2



2

2

求平面图形面积的基本步骤: 求平面图形面积的基本步骤 (1)作曲线图形、确定积分变量 及积分区间;

y
1 ( , 1) 2

y 2 = 2x

2x + y ? 2 = 0

o
(2)求面积微元; (3)计算定积分。

1 2

2

x

(2, ? 2)

1 x2 例 5.求由曲线 y = 、y= 与直线 x = ? 3 、 x = 3 2 2 1+ x y x2 y= 所围成的图形的面积。 2
? x2 ?y = ? 2 解:解方程组 ? , o 1 ?1 ? 3 1 ?y= ? 1+ x2 ? 1 1 得两曲线的交点(-1, )(1, ) , 。 2 2
3 x2 x2 1 1 A= ? dx = 2 ? dx 2 2 ? 3 2 1+ x 0 2 1+ x

1

y=
3

1 1+ x 2

x



3



y
1

x2 y= 2

y=
1
3

1 1+ x 2

? 3 ?1

o

x

x = 2[ ( ? )dx + 0 1+ x2 1 2



1

1

2



3

x 1 ( ? )dx] 2 1+ x2

2

x3 = 2[(arctan x ? ) 6
1 = (π + 3 3 ? 2). 3

1 0

x3 + ( ? arctan x) 3 ] 1 6

? x = a (t ? sin t ) 例 6.求摆线 ? (0 ≤ t ≤ 2π) 的一拱 与 x 轴 ? y = a (1 ? cos t ) y 所围成的图形的面积。

解: dA = ydx = a 2 (1 ? cos t ) 2 dt
A=

∫0



a (1 ? 2 cos t + cos t )dt


2

2

o

2πa

x

=a

2

∫0

3 1 ( ? 2 cos t + cos 2t )dt 2 2
2π 0

3 1 = a ( t ? 2 sin t + sin 2t ) 2 4
2

= 3πa 2 .

例 7.求图中阴影部分面积之和 S1 + S 2 的最大值和最小值。
解:设 S ( x) = S1 + S 2 ,则 S (x) 在 [0, 1] 上连续。

S ( x) =

∫0

x

( x ? t )dt +

2

2



1 2 (t ? x 2 )dt x

y

y = x2

x 2 x 2 1 2 1 2 = x dt ? t dt + t dt ? x dt 0 0 x x









4 3 2 1 即 S ( x) = x ? x + , (0 ≤ x ≤ 1). 3 3

S2
S1

S ′( x) = 4 x 2 ? 2 x = 2 x( 2 x ? 1)
1 令 S ′( x) = 0 ,得 x = 0 , x = 。 2

o

续上

4 3 2 1 S (x ) = x ? x + , (0 ≤ x ≤ 1). 3 3

1 1 1 2 ∵ S (0) = , S ( ) = , S (1) = , 3 2 4 3

2 1 ∴ S ( x ) = S1 + S 2 的最大值 是 ,最小值 是 。 3 4

(二)极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r (θ) 及两条射线 θ = α , θ = β (α < β) 所围成的

图形称为曲边扇形 曲边扇形。 曲边扇形 求曲边扇形的面积 A ,积分 变量是 θ , θ ∈ [α, β] 。
应用微元法找面积 A 的微元 dA , ?[θ, θ + dθ] ? [α, β] ,

以 θ 处的极径 r (θ) 为半径,以 dθ 为圆心角的圆扇形的
面积作为面积微元,即

r = r (θ)
β

1 β 故 A= [r (θ)]2 dθ. 2 α

1 dA = [r (θ)]2 dθ 2




α θ

r (θ)
θ + dθ

o

x

例 8.求心形线 r = a(1 + cos θ)(a > 0) 所围成的图形的 面积 A 。

解: A = 2
=a
=a
2

∫0
π

π 1

2

[a (1 + cos θ]2 dθ

r = a(1+ cos θ)

∫0

(1 + 2 cos θ + cos 2 θ ) d θ

o

x

2



1 ( + 2 cos θ + cos 2θ) dθ 0 2 2

π 3

1 π 3 = a ( θ + 2 sin θ + sin 2θ) = πa 2 . 0 2 4 2

2 3

例 9.求由两条曲线 r = 3cos θ 和 r = 1 + cos θ 所围成的

阴影部分的面积。
解:作出它们的草图,

3 π A( , ) 2 3

r = 3cosθ
r =1+ cos θ

?r = 3cos θ 解方程组 ? , ? r = 1 + cos θ

o

x

3 π 3 π 得交点 A( , ) , B ( , ? ) 。 B( 3 ,? π ) 2 3 2 3 2 3
由图形的对称性得

A= 2

∫0

π 3

1 2 (1 + cos θ) dθ 2
π 1 2

3 π A( , ) 2 3

r = 3cos θ
r =1+ cos θ

o
2

+2

∫ π 2 (3cos θ)
3


π 2 9 cos 2 θdθ

x
3 π B( ,? ) 2 3

=

∫0

π 3 (1 + 2 cos θ + cos 2 θ) dθ +
π 3

∫π
3

3 1 9 9 5 = ( θ + 2sin θ + sin 2θ) + ( θ + sin 2θ) = π. 2 4 2 4 π 4 0
3

π 2





习 题 九 (P198)
1(2)(3)(6); 2 ; )(3)(6 3(1)(2)(5) (7); )(2)(5 4 ; 5 。


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