数学归纳法教学认识论文


对数学归纳法教学的几点认识 数学归纳法是证明数学命题的一种方法,是中学数学的重要内 容,又是会考、高考的热点问题,同时也是学生学习的难点。数学 归纳法呈现固定的程式,学生一般只会简单的模仿,而在具体问题 的应用中往往感到力不从心。究其原因,一是没有领会数学归纳法 的实质。二是对与自然数有关的一些命题的具体内容理解不清,缺 乏对策。许多学生只是借助于像多米诺骨牌这样的事例作类比来认 识这种方法的可靠性,但没有认识到方法在逻辑推理上的严格性。 不少学生则是在没有比较好地理解基础上机械地运用数学归纳法 的两个步骤去证明数学结论,从而导致证明过程中出现表述上的种 种错误。 目前,数学归纳法的教学常常借助于多米诺骨牌游戏让学生对数 学归纳法有一个直观的认识。多米诺骨牌是理解数学归纳法的最好 模型.我们用第一块骨牌表示 a1,它若倒下,相应地,表示 a1 是 正确的;第二块骨牌表示 a2,它若倒下,相应地,表示 a2 是正确 的;?,用第 k 块骨牌表示 ak,它若倒下,表示 ak 是正确的?? 只要能保证所有多米诺骨牌都倒下,相应地,就能保证通项公式对 一切正整数都成立. 那么,所有多米诺骨牌都倒下的条件是什么呢?通过观察可以发 现,只要满足以下两个条件,所有骨牌就都能倒下: ①第一块骨牌倒下; ②相邻的两块,前一块倒下一定导致后一块倒下. “为什么满足这些条件多米诺骨牌会全部倒下呢?”一定要让学 生来解释其中的道理,并解释每一个条件的作用分别是什么,这是 教学过程中的一个不可或缺的重要环节.通过这个解释学生才能够 领会数学归纳法的实质, 掌握使用这个方法的要领, 理解这个方法. 需要指出的是,弄清所有骨牌都倒下的条件是必要的,但更需要 明确的是,我们要做什么事?——“保证” ,保证这些条件都已经 满足. 数学归纳法本质上是一种演绎法,是在推理过程、叙述形式上被 约缩了的演绎法。 实际上, 在数学归纳法中隐含着一连串的三段论, 其第一个三段论如下: 大前提:如果命题 p(n)对 n=k 成立,那么命题 p(n)对 n=k+1 也成 立; 小前提:命题 p(n)对 n=1 成立; 结论:命题 p(n)对 n=2 成立。 于是,有第二个三段论式: 大前提:如果命题 p(n)对 n=k 成立,那么命题 p(n)对 n=k+1 也成 立; 小前提:命题 p(n)对 n=2 成立; 结论:命题 p(n)对 n=3 成立。 于是,又有第三个三段论,从中得到命题 p(n)对 n=4 成立。 ??这样,每一个三段论都得到命题链中的一个命题的证明,直 至无穷,从而得到所要证明的数学命题的证明。 在我们设计数学归纳法的教学时,我们应该解决以下四个问题, 并围绕这四个问题展开:1、为什么要使用数学归纳法?2、什么是 数学归纳法?3、什么时候使用数学归纳法?4、怎样正确使用数学 归纳法? 具体教学可以通过几个片段来实现: 第一阶段,主要解决为什么要使用数学归纳法的问题。 问题 1:2 个正方形是否可以剖开成有限块,再拼成一个正方形? 请同学们尝试。 [设计意图]通过具体的问题引入课题,将一个看似简单的问题与 数学归纳法关联起来,激发学生的学习兴趣,学生可能会想出很多 种分割的方法。 问题 2:3 个正方形能否剖开成有限块,再拼成一个正方形?请你 回答能与不能,并说出你的理由。 [设计意图]对于两个正方形, 学生通过操作也许可以了解能否将 2 个正方形剖开再拼成一个正方形,但对于 3 个正方形这样的做法可 能不行了。设计这个问题的目的是在于引导学生的归纳思维,即能 否将 3 个正方形转化为 2 个正方形来考虑。 问题 3:如果我们对 3 个正方形也能做到这一点,那么对于 4 个、 5 个、6 个,?,n 个正方形是否都能做到这一点呢? [设计意图]引导学生发现,4 个可能转化为 3 个,5 个可以转化为 4 个,k+1 个可能转化为 k 个,因此只要 k 个正方形能做到,那么 k+1 个正方形必能做到。初步奠定学生归纳法的基本概念。 第二阶段,主要解决什么是数学归纳法。 问题 4:例如:对于数列{an},已知 a1=1, (n=1,2,3,?) , 求其通项公式 an。 [设计意图]这个是一个过渡性问题,为学习什么是数学归纳提供 一个范例。让学生通过 a2=2,a3=3,a4=4,?,猜想 an=n,这个 例子在教材“合情推理与演绎推理”中出现过,通过这个例子,要 说明如果 ak= k,那么我们一定能够知道 ak+1= = ,并说明与正 整数 n 有关的命题,当 n 比较小时可以逐个验证,但当要证明 n 取 所有正整数都成立的命题时,逐一验证是不可能的,需要寻找一种 新的方法。类似于问题 1,通过命题的转化,经过有限个步骤的推 理,证明 n 取所有正整数都成立。 问题 5:要使(1) (2)两种活动进行下去,需要满足怎样的条件? [设计意图]多米诺骨牌游戏是很好的数学归纳法的现实影子,可 以帮助归纳出数学归纳法的两个步骤。由于数学归纳法的学术形态 与教学形态不同,我们不能对学生讲命题 a 与命题 b 是等价的,也 不能讲两个命题是等价的证明。数学归纳法的教学形态应该是让学 生理解归纳奠基与归纳递推两个步骤是保证命题对所有自然数(n >n0)的充分条件。在这个过程中归纳递推 p(k) p(k+1) 是核 p(2) 心,有了归纳递推的保证,就有一系的演绎推理:p(1) p(3) p(4)p(5)?p(n) p(n+1) ?。 第三阶段,主要解决什么时候使用数学归纳法。 问题 6:你能用数学归纳法证明问题 3 和问题 4 的正确性吗? 问题 7:从下列等式中,你能归纳出一般的规律并用数学归纳法证 明吗? [设计意图]通过具体问题的证明,让学生进一步感知数学归纳法 的思想和证明步骤。至于第 4 个问题“怎样正确使用数学归纳法” 可以在第阶段内解决以突出主要矛盾。 数学归纳法的教学首先是一科程序性教学。为了让学生能够正确 应用数学

相关文档

【7A文】典型例题-数学归纳法解题
【5A文】数学归纳法
2018届人教A版(文) 数学归纳法 检测卷
对初中物理教学认识论文
对物理实验教学认识论文
对高中历史教学认识论文
对中学体育教学认识论文
我对信息技术教学认识论文
对职校普通话教学认识论文
美术愉快教学认识论文
电脑版