2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理教案1 新人教A版选修2-2.doc


2019-2020 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理教案 1 新 人教 A 版选修 2-2
教学目标:了解牛顿-莱布尼兹公式 教学重点:牛顿-莱布尼兹公 教学过程 一、复习:定积分的概念及计算 二、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须 寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t ),速度为 v(t)( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为

?

T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S ( t )在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表达,即

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 ) ,且 S ?(t ) ? v(t ) 。

对于一般函数 f ( x ) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

若上式成立,我们就找到了用 f ( x ) 的原函数(即满足 F ?( x) ? f ( x) )的数值差 F (b) ? F (a) 来计算

f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。
定理 如果函数 F ( x) 是 [ a, b] 上的连续函数 f ( x ) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:因为 ? ( x ) =

?

x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故

F ( x) - ? ( x) =C( a ? x ? b )
其中 C 为某一常数。 令 x ? a 得 F ( a ) - ? ( a ) =C,且 ? ( a ) = 即有 C= F ( a ) ,故 F ( x) = ? ( x ) + F ( a )

?

a

a

f (t )dt =0

? ? ( x) = F ( x) - F (a ) = ? f (t )dt
a

x

令 x ? b ,有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

为了方便起见,还常用 F ( x) |b a 表示 F (b) ? F (a) ,即

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分 的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 例1. 计算 解:由于

?

1

0

x 2 dx

1 3 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x dx = 3 x |0 = 3 ? 1 ? 3 ? 0 = 3
2

例2 求

?

x 1 ? x2

0

dx
1 1 1 d ( x2 ) 2 d (1 ? x 2 ) 1 2 2 = 2(1 ? x ) 2 ? C ? (1 ? x ) 2 ? C ? ? ? 2 2 2 2 1? x 2 1? x

解 因为

?
1 2

xdx 1 ? x2

?



(1 ? x 2 )

2 0

x
? 5 ? 1 1 ? x2

有一个原函数为 (1 ? x 2 ) 2 ,所以

1

?

2

x 1 ? x2

0

dx = (1 ? x 2 ) 2 ? 5 ? 1
0

1

2

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 刹车,问从
2

开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里/小时=

32 ? 1000 米/ 3600

秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽车停住时,速 度 v(t)=0 ,故从

v(t)=8.88-1.8t=0解得 t=

8.88 ? 4.93 秒 1.8

于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) 2 0

4.93

? 21.90 米,即在刹车后,汽车需走过 21.90 米

才能停住. 小结:本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. 作业:


相关文档

【新部编版】2019-2020高中数学 第三章 直线与方程 第二节 直线的一般式方程导学案(无答案)新人教版必修2
【新部编版】2019-2020高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 函数的单调性与最值(2)导学案新人教A版必修
【新部编版】2019-2020高中数学 第二章 空间点直线平面之间的位置关系 第三节 直线与平面垂直的判定导学案
2019-2020高中化学 第三章3.1 金属的化学性质 第3课时 物质的量在化学方程式计算中的应用导学案1
2019_2020学年高中地理第五章海洋开发第三节海洋能的开发利用学案新人教版选修2
【优质部编】2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修
2019_2020学年高中物理第3章2探究加速度与力质量的关系教案教科版必修54
2019-2020学年(新版)高中地理第一章第三节解决环境问题的基本思想导学案(新人教版)选修6
2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习课学案新人教B版
2019_2020学年高中物理第5章第2节万有引力定律的应用第3节人类对太空的不懈追求教案鲁科版
电脑版